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KenKén y teoría de números

Por Japheth Wood
September 2009
Bienvenidos al rincón del KenKén de septiembre. Empiezan las clases, así que les ofrezco una pequeña lección sobre teoría de números para ¡comenzar bien el año!



Primero, dos rompecabezas de KenKén nuevos.
--------->

En Julio, les hice dos preguntas sobre cuántos divisores tiene un número. El Problema C preguntaba sobre los diseños en el retículo de divisores de números y el Problema D quería saber cuál es el número más pequeño con exactamente 2009 divisores. Hay mucha información que se puede aprender solamente con contar cuántos divisores tiene un número:

Número

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Divisores

1

2

2

3

2

4

2

4

3

4

2

6

2

4

4

5

2

6

2

6

 

Se puede ver en la tabla que el número de divisores es por lo general mucho más pequeño que el número en sí, así que una búsqueda sistemática llevará mucho tiempo para resolver el Problema D. Cuando uno se encuentra con un problema que es muy difícil, a menudo ayuda cambiar el problema a algo más manejable, e investigar la estructura.

Pregunta modificada: ¿Qué números tienen exactamente 6 divisores? (¿De que dos maneras cambiamos el Problema D?)

Los números con 6 divisores exactamente son 12, 18, 20, 28… y encajan en un patrón:

12 = 2*2*3

18 = 2*3*3

20 = 2*2*5

28 = 2*2*7

El primer número de esta lista es el 12, que estudiamos en julio. Veamos otra vez. La factorización prima de 12 = 2*2*3 sugiere una manera muy interesante de organizar los divisores en una tabla de multiplicación.

*

1

2

4

1

1

2

4

3

3

6

12

Los divisors de los números 18, 20 y 28 pueden todos colocarse en este patrón.

Problema C: No cualquier número n con exactamente seis divisores encajan en el patrón n = a*a*b, en el que a y b son números primos diferentes. Encuentra alguno de ellos.

Problema D: El número más pequeño con exactamente 8 divisores es el 30. ¿Cuáles son estos divisores?

Si disfrutaste resolviendo estos problemas, ¡envíanos tus soluciones y comentarios!

Correo:
La Voz / Bard College
PO Box 5000
Annandale-on-Hudson, NY 12504
escribalavoz@yahoo.com

Aquí están las soluciones a los problemas de agosto:

 

Rompecabeza A de agosto

Rompecabeza B de agosto

3             

1              

2    
        
                

4                

2           

4

3

1

4
  

3

1

2

1

2

4

3

2  
                  

1        

5           

4           

3    
 

1

4           

3

2

5

3

2

1

5

4         

5

3

4

1

2          

4

5

2

3

1



*Japheth Wood es profesor de matemáticas en Bard College.

 

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