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Las bolas del cañón

Por Japheth Wood
December 2009

Los dos primeros juegos de este mes son el rompecabezas kenken

 


Como siempre, completa el juego de 4x4 casillas con los números 1, 2, 3 4 y el juego más grande, de 5x5, con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Usa cada número exactamente una vez en cada fila y en cada columna y de tal manera que los números en cada región marcada (jaulas), combinados por la operación dada, den por resultado el número objetivo. Las regiones más pequeñas vienen con el número dado sin operación, un regalito que puedes usar primero.

En junio tuve el placer de acompañar a la directora de La Voz a una conferencia de periodismo en San Juan, Puerto Rico. Allí visité el Fuerte San Felipe del Morro, o simplemente El Morro, un fuerte construido por los españoles hace casi 500 años para proteger eEl puerto de Puerto Rico, la Bahía San Juan. A pesar de que por allí ocurrieron muchas batallas, todavía les quedaron algunas bolas de cañón sin usar. Aquí hay una foto que tomé de la pila de bolas de cañón que acomodaron en forma de pirámide, sólo que falta la última de la punta de arriba.

 Pregunta C: ¿Cuántas bolas de cañón hay en esta pirámide?
Para responder a esta pregunta ayuda el observar que cada nivel de la pirámide es un cuadrado, así que parte del cálculo podría organizarse en una tabla. Por ejemplo:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

Dejo el resto de la operación a los lectores y paso a los números piramidales. Si no faltara la última bola de cañón de arriba, entonces el número total de bolas de cañón de la foto sería el sexto número piramidal.

 Una pirámide de un nivel tiene sólo un objeto. Una pirámide con dos niveles tiene 5 objetos: 4 en una base cuadrada y uno en la punta. Con tres niveles, una pirámide tiene 9 objetos en la base cuadrada, 4 en el nivel del medio y 1 arriba con un total de 14 objetos. Por lo tanto, los números de la pirámide son: 1, 5, 14, 30, 55, …

 Una observación interesante se puede hacer al estudiar las sucesivas diferencias entre los términos:

Números piramidales

1

 

5

 

14

 

30

 

55

Primeras diferencias

 

4

 

9

 

16

 

25

 

Segundas diferencias

 

 

5

 

7

 

9

 

 

  Pensando en pirámides, tiene sentido que las primeras restas son cuadrados, ya que estos dan cuántas bolas de cañón hay en el nivel base. Quizás sorprendente sea que las segundas diferencias, restas, son números impares.

 Pregunta D: Con 2009 bolas de cañón, ¿qué tan alta podrías construir una pirámide, y cuántas bolas de cañón quedarían sin usar?

 Puerto Rico fue un destino maravilloso, y espero que nuestros lectores tengan la oportunidad de visitar la isla algún día. Sin embargo, hay muchos lugares donde uno se puede encontrar con matemáticas y se los iré mostrando en próximos números de la revista.

 Felicitaciones al lector de La Voz Edwin Gómez por enviarnos sus soluciones correctas a los juegos del mes de octubre.

Si te gustó resolver estos problemas, envíanos por favor tus soluciones o comentarios.

 Correo:
La Voz / Bard College
PO Box 5000
Annandale-on-Hudson, NY 12504
escribalavoz@yahoo.com

*Japheth Wood es profesor de matemáticas en Bard College

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